[Algorithm] 선형 보간법 (Linear interpolation)

선형 보간법 (Linear interpolation)

선형 보간법을 구현하는 방법에 대해 알아보자.

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선형 보간법이란?

선형 보간법은 1차원 직선상에서 두 점의 값이 주어졌을 때 그 사이의 값을 추정하기 위해 직선 거리에 따라 선형적으로 계산(비례식)하는 방법이다.

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선형 보간이 필요한 상황

점 a, b, c

위 사진을 보면 점 a와 b가 양쪽에 있고, 그 사이에 점 c가 있다. a와 b의 좌표는 각각 (2, 1)와 (7, 4)로 미리 알고있는 상황이며 c는 a와 b사이의 어느 한 지점이라는 점만 알고 있다.

 

이와 같은 상황에서 점 c의 x좌표가 임의로 주어졌을 때 선형 보간법을 사용하면 점 c의 y좌표까지 알아낼 수 있다.

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선형 보간법을 적용하는 방법

선형 보간법을 적용하는 방법은 다음과 같다.

 

사진을 보면 a와 b가 어느 좌표에 있는지 알 수 있지만 c의 좌표가 어디인지는 확실하게 알 수 없다. 그저 "a와 b 사이의 어딘가" 라는 점만 알 수 있다.

이 때 점 c의 x 좌표를 임의로 지정하면 선형 보간법을 사용하여 점 c의 y 좌표까지 알아낼 수 있다.

 

점 c의 x좌표를 4.9로 임의로 정하면 점 a, b, c의 x 좌표(2, 4.9, 7)를 모두 알 수 있는 상태가 된다.

배율 계산을 위해 x 좌표만 가지고 일렬로 늘어뜨려보자. (위 사진에서 실선으로 표시한 부분)

 

 

각 점 사이의 거리

전체거리(d = b - a)를 구하고 시작점과 c 사이의 거리(d1 = c - a)도 구한다. 각각 5, 2.9 라는 숫자가 나오는데 d1에 대한 d의 배율을 구한다.

d1 / d = 2.9 / 5 = 0.58 이므로 백분율로 환산하면 58%을 의미한다.

즉, a로부터 b 방향으로 전체거리(b - a)의 58% 만큼 움직이면 c가 나온다는 뜻이다.

 

배율을 구했으니 이제 c의 y 좌표를 계산할 수 있다.

 

a의 y 좌표와 b의 y 좌표 사이의 거리를 구한 후 위에서 구한 배율을 곱한 뒤 a의 y 좌표를 더하면 c의 y 좌표를 구할 수 있다. 답은 2.74다.

 

결과적으로 선형 보간법을 사용하면 점 a(2, 1)와 점 b(7, 4) 사이의 점 c의 x 좌표가 4.9 일 때 y 좌표는 2.74 라는 결론을 도출할 수 있다.

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알고리즘 적용

const a = { x : 2, y : 1 };
const b = { x : 7, y : 4 };

// 배율
const r = mag(a.x, b.x, 4.9);

// 결과
const y = a.y + (b.y - a.y) * r;

function mag(ax, bx, x) {
	
    const d = bx - ax;
    const d1 = x - ax;
    
    return d1 / d;
}


// 실행결과
// y = 2.74

 

추가적으로 배율 계산에 방향성(+- 구분)을 포함하고 싶으면 mag 함수를 아래처럼 변경하면 된다.

 

function mag(ax, bx, x) {
	
    const d = bx - ax;
    const d1 = x - ax;
    
    let m = d1 / d;
    
    // + => - 부호 반전
    if (d < 0) {
        m *= -1;
    }
    
    return m;
}

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관련 문서

선형 보간법 - 위키백과, 우리 모두의 백과사전

 

Linear interpolation calculator